Ben faudrait savoir le kilométrage (genre si elle a 60 000 bornes pourquoi pas de l'usure mais si elle en a juste 30 000 ou moins çà n'a pas de raison d'être particulièrement usé).
Faudrait savoir aussi si le niveau d'huile de boite est bon, quel est le kilométrage de l'huile, et ce qui a été utilisé comme huile.
Car sur plusieurs forum j'ai déja vu passer quelques proprio de DTR ou de TDR qui étaient persuadé d'avoir une série spéciale avec juste 5 vitesses ce qui ne les choquait pas plus que çà en fait, juste que sur le moment leur problème et la raison pour laquelle ils postait sur le forum c'était que la moto n'avançait pas bien vite sur le dernier rapport (donc le 5 ème pour eux) .
Dans bien des cas il a suffit d'une simple vidange d'huile de la boite pour subitement voir apparaitre une 6 ème vitesse, et du coup le problème du manque de vitesse de pointe était aussi résolu

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Si une vidange de boite fait des "miracles" en faisant revenir la 6 ème vitesse qui n'existait pas, peut ètre que çà peut aussi résoudre un problème de seconde qui ne tient pas et qui retombe au point mort

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C'est tout du moins pas trés couteux comme test.
SInon faut voir la mécanique de plus prêt, déja regarder au niveau du "doigt' de verrouillage des vitesses ainsi que le "barillet" ou tambour de sélection des vitesses.
Ou peut ètre changer la position du sélecteur en le baissant d'un cran car peut ètre que pour une raison indéterminée la seconde demande à avoir le sélecteur de bien levé à fond pour passé et peut ètre que les autres vitesses passent plus "tôt" et que sur ta moto le sélecteur est trop haut et que donc tu ne le lève pas assez pour passer la seconde

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A+